Le volume est une mesure fondamentale dans la géométrie, permettant de quantifier l’espace occupé par un objet en trois dimensions. Dans le domaine de la géométrie solide, la formule du volume d’un cylindre est essentielle pour calculer la capacité d’un contenant cylindrique ou la quantité d’un matériau nécessaire pour remplir un espace donné.
Formule du volume d’un cylindre : explication
Un cylindre est un solide composé de deux bases circulaires identiques et d’une surface latérale incurvée. Le volume d’un cylindre peut être calculé en utilisant une formule simple qui dépend de la hauteur du cylindre (h) et de son rayon (r). La formule du volume d’un cylindre est la suivante :
V = πr²h
Dans cette formule, π représente une constante mathématique, communément approximée à 3,14. Le rayon (r) est la distance entre le centre d’une base circulaire et son bord, tandis que la hauteur (h) est la distance entre les deux bases.
La formule du volume d’un cylindre peut être dérivée en utilisant des concepts géométriques simples. Commençons par considérer une seule base circulaire du cylindre. Son aire peut être calculée en utilisant la formule de l’aire d’un cercle : A = πr².
Maintenant, si nous multiplions cette aire de base par la hauteur du cylindre, nous obtenons le volume du prisme droit formé en extrudant la base circulaire. Un cylindre est légèrement différent d’un prisme droit car ses parois latérales sont incurvées. Néanmoins, le volume reste le même, car la surface latérale incurvée peut être déployée pour former un rectangle, vous pouvez vous renseigner davantage selon nos données complémentaires.
En imaginant que nous coupons le cylindre le long de la surface latérale et l’étalons sur une surface plane, nous obtenons un rectangle dont la longueur correspond à la circonférence de la base (2πr) et dont la hauteur correspond à la hauteur du cylindre (h). Par conséquent, l’aire de ce rectangle est égale à la circonférence de la base multipliée par la hauteur : A = 2πrh.
En utilisant le principe de conservation du volume, nous savons que l’aire de ce rectangle est également égale au produit de l’aire de la base (πr²) par la hauteur (h) : A = πr²h.
Ainsi, nous pouvons conclure que le volume d’un cylindre est donné par la formule V = πr²h.
Exemples d’utilisation de la formule
Exemple 1
Supposons que nous ayons un cylindre avec un rayon de 5 cm et une hauteur de 10 cm. En utilisant la formule du volume, nous pouvons calculer :
V = π(5 cm)²(10 cm) = 250π cm³ ≈ 785,4 cm
Exemple 2
Imaginons que nous voulions remplir un réservoir cylindrique ayant un rayon de 2 mètres et une hauteur de 6 mètres. Pour déterminer la quantité d’eau nécessaire, nous pouvons utiliser la formule du volume.
V = π(2 m)²(6 m) = 24π m³ ≈ 75,4 m³
Ainsi, pour remplir ce réservoir, nous aurions besoin d’environ 75,4 mètres cubes d’eau.